Четырехугольники

• Четырехугольник – это фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины.
• Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
       ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
• Сумма внутренних углов четырехугольника pавна 360°:
       ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
• Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
• Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
       ∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D,
       ∠C < ∠A+∠B+∠D, ∠D < ∠A+∠B+∠D.
• Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:
       AB< BC+CD+DA, BC < CD+DA+ AB,
       CD < BC+ DA+ AB, DA < BC+CD+ AB.

Вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника окружность

Параллелограмм

• Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

• Противоположные стороны параллелограмма равны:
       AB = CD, BC = AD
• Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
       AB || CD, BC || AD
• Противоположные углы параллелограмма равны:
       ∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
• Сумма углов прилегающих к любой стороне равна 180°:
       ∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
• Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
• Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных треугольников.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делят друг друга пополам.
• Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм имеет две диагонали – длинную – AC и короткую – BD.
• В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
• Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.

Площадь параллелограмма:

• S = a∙h, где a – основание, h – высота.

Ромб

• Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Свойства:

• Имеет все свойства параллелограмма.
• Все стороны равны:
       АВ = ВС = СD = AD
• Диагонали пересекаются под прямым углом:
       AC ┴ BD
• Диагонали являются биссектрисами его углов:
       ∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
• Все высоты равны:
       BN = DL = BM = DK
• В ромб можно вписать окружность.
• Около ромба нельзя описать окружность.

Площадь ромба:

1. S = a∙h, где a – основание, h – высота.
2. S = d₁∙d₂ , где d₁ и d₂ – диагонали.

Трапеция

• Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны или трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Свойства:

• AD и BC – основания, AB, CD – боковые стороны.
• AD || BC
• Если боковые стороны трапеции равны, то такая трапеция будет называться равнобедренной.
• Если у трапеции есть прямые углы при боковой стороне, то такая трапеция называется прямоугольной.
• Если в трапецию можно вписать в окружность, то трапеция равнобедренная
• В трапецию можно вписать окружность, если AD + BC = AB + CD

Средняя линия трапеции:

Средняя линия KL – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• AD || KL и KL || BC
• AK = KB, CL = LD
• 

Равнобедренная трапеция:

Свойства:

• Боковые стороны равны: AB = CD
• Углы при основании равны: ∠B = ∠C, ∠A = ∠D
• Диагонали равны: AC = BD

Прямоугольная трапеция:

Свойства:

• ∠A = ∠B = 90°
• Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, совпадают.

Правильные многоугольники

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

• Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Свойства:

1. Все стороны равны:
        a1 = a2 = a3 = a4 = ... = a_n
2. Все углы равны:
        α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n
3. Центр вписанной окружности совпадает c центром описанной окружности, образуя центр многоугольника O
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O
5. Сумма всех углов n-угольника равна:
        180° · (n – 2)
6. Градусная величина угла n-угольника равна:
7. Около любого правильного n-угольника можно описать окружность
8. В любой правильный n-угольник можно вписать окружность